Beschreibung
Dieser Band setzt die "Numerische Mathematik 1" fort. Er enthält Kapitel über Eigenwertaufgaben, lineare Optimierungsaufgaben unrestringierte Optimierungsaufgaben.
Autorenporträt
Inhaltsangabe5 Eigenwertaufgaben.- 5.1 Einige theoretische Grundlagen.- 5.1.1 Der Satz von Gerschgorin.- 5.1.2 Der Satz von Bauer-Fike.- 5.1.3 Variationsprinzipien für Eigenwerte hermitescher Matrizen.- 5.1.4 Der Satz von Schur.- Aufgaben.- 5.2 Das QR-Verfahren.- 5.2.1 Die Transformation einer Matrix auf Hessenberg-Form.- 5.2.2 Die QR-Zerlegung einer Hessenberg-Matrix.- 5.2.3 Vektoriteration nach v. Mises.- 5.2.4 Inverse Iteration nach Wielandt.- 5.2.5 Die Konvergenz des einfachen QR-Verfahrens.- 5.2.6 Das QR-Verfahren mit Shifts.- Aufgaben.- 5.3 Eigenwertaufgaben für symmetrische Matrizen.- 5.3.1 Das Jacobi-Verfahren.- 5.3.2 Das Bisektions-Verfahren.- 5.3.3 Das QR-Verfahren für symmetrische Matrizen.- 5.3.4 Die Berechnung der Singulärwertzerlegung.- Aufgaben.- 6 Lineare Optimierungsaufgaben.- 6.1 Einführung, Beispiele.- Aufgaben.- 6.2 Das Simplexverfahren.- 6.2.1 Geometrische Grundlagen des Simplexverfahrens.- 6.2.2 Die Phase II des Simplexverfahrens.- 6.2.3 Die Vermeidung von Zyklen beim Simplexverfahren.- 6.2.4 Die Phase I des Simplexverfahrens.- Aufgaben.- 6.3 Dualität bei linearen Programmen.- 6.3.1 Schwacher und starker Dualitätssatz.- 6.3.2 Ökonomische Interpretation der Dualität.- 6.3.3 Das duale Simplexverfahren.- Aufgaben.- 6.4 Das Karmarkar-Verfahren.- 6.4.1 Das Karmarkar-Verfahren und seine Motivation.- 6.4.2 Die Konvergenz des Karmarkar-Verfahrens.- 6.4.3 Zurückführung eines linearen Programms auf Karmarkar-Normalform.- Aufgaben.- 7 Unrestringierte Optimierungsaufgaben.- 7.1 Grundlagen.- 7.1.1 Einführung.- 7.1.2 Notwendige Optimalitätsbedingungen erster Ordnung.- 7.1.3 Notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung.- 7.1.4 Glatte konvexe Funktionen.- Aufgaben.- 7.2 Ein Modellalgorithmus.- 7.2.1 Schrittweitenstrategien bei glatter Zielfunktion.- 7.2.2 Konvergenz des Modellalgorithmus bei glatter Zielfunktion.- 7.2.3 Das gedämpfte Gauß-Newton-Verfahren bei diskreten, nichtlinearen Approximationsaufgaben.- Aufgaben.- 7.3 Quasi-Newton-Verfahren.- 7.3.1 Das Newton-Verfahren.- 7.3.2 Die Broyden-Klasse und das BFGS-Verfahren.- 7.3.3 Die globale Konvergenz des BFGS-Verfahrens.- 7.3.4 Die superlineare Konvergenz des BFGS-Verfahrens.- Aufgaben.- 7.4 Verfahren der konjugierten Gradienten.- 7.4.1 Quadratische Zielfunktionen.- 7.4.2 Das Fletcher-Reeves-Verfahren.- 7.4.3 Ein gedächtnisloses BFGS-Verfahren.- Aufgaben.- 7.5 Trust-Region-Verfahren.- 7.5.1 Einführung.- 7.5.2 Glatte, unrestringierte Optimierungsaufgaben.- 7.5.3 Nichtlineare Ausgleichsprobleme.- 7.5.4 Diskrete, nichtlineare Approximationsaufgaben.- Aufgaben.
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