Beschreibung
Dieses Buch will weder ein Lehrbuch der Funktionalanalysis noch eines der numerischen Mathematik sein; sondern es möchte nur zeigen, wie sich in der numerischen Mathematik in neuerer Zeit ein Struktur wandel vollzogen hat, wie durch den Einsatz einerseits der Groß rechenanlagen und andererseits abstrakter Methoden ein Bild der numerischen Mathematik entstanden ist, welches sich von demjenigen vor etwa 10 bis 20 Jahren wesentlich unterscheidet. Es ist genauso wie in anderen Teilen der Mathematik auch in der numerischen Mathe matik ein starker Zug zur Abstraktion vorhanden. Zugleich verwischen sich die Grenzen zwischen den einzelnen mathematischen Disziplinen. So ist es heute schwer zu sagen, ob z. B. die Funktionalanalysis zur sog. reinen oder zur sog. angewandten Mathematik gehört. Die Funk tionalanalysis ist eine Grundlage für große Teile beider genannten Dis ziplinen, und der Verfasser wäre glücklich, wenn dieses Buch dazu beitragen würde, den unseligen Unterschied zwischen "reiner" und "angewandter" Mathematik ad absurdum zu führen; denn es gibt keine Trennungslinie zwischen diesen beiden Gebieten, es gibt nur eine M athe matik, von der Analysis, Topologie, Algebra, numerische Mathematik, Wahrscheinlichkeitsrechnung usw. einige ineinandergehende Teilgebiete sind.
Autorenporträt
InhaltsangabeI Grundlagen der Funktionalanalysis mit Anwendungen.- § 1. Typische Fragestellungen der numerischen Mathematik.- 1.1 Einige allgemeine Begriffe.- 1.2 Lösungen von Gleichungen.- 1.3 Untersuchung der Eigenschaften der Lösungen von Gleichungen.- 1.4 Extremalaufgaben mit oder ohne Nebenbedingungen.- 1.5 Darstellungsaufgaben (Koeffizientenbestimmungen).- 1.6 Auswertungen.- § 2. Einige Typen von Räumen.- 2.1 Höldersche und Minkowskische Ungleichung.- 2.2 Der topologische Raum.- 2.3 Quasimetrische und metrische Räume.- 2.4 Lineare Räume.- 2.5 Normierte Räume.- 2.6 Unitäre Räume und Schwarzsche Ungleichung.- 2.7 Die Parallelogrammgleichung.- 2.8 Orthogonalität in unitären Räumen, Besselsche Ungleichung.- § 3. Ordnungen.- 3.1 Halbordnung und Totalordnung.- 3.2 Verbände.- 3.3 Pseudometrische Räume.- § 4. Konvergenz und Vollständigkeit.- 4.1 Konvergenz im pseudometrischen Raum.- 4.2 Cauchy-konvergente Folgen.- 4.3 Vollständigkeit, Hilbert- und Banachräume.- 4.4 Einige Stetigkeitsaussagen.- 4.5 Einfache Folgerungen für den Hilbertschen Raum, Unterräume.- 4.6 Vollständige Orthonormalsysteme in Hilberträumen.- 4.7 Beispiele.- 4.8 Schwache Konvergenz.- § 5. Kompaktheit.- 5.1 Kompakt und kompakt in sich.- 5.2 Beispiele für Kompaktheit.- 5.3 Der Satz von Arzelà.- 5.4 Von Integraloperatoren erzeugte, in sich kompakte Funktionenmengen.- § 6. Operatoren in pseudometrischen und spezielleren Räumen.- 6.1 Lineare und beschränkte Operatoren.- 6.2 Zusammensetzung von Operatoren.- 6.3 Der inverse Operator.- 6.4 Beispiele von Operatoren.- 6.5 Die Inversen benachbarter Operatoren.- 6.6 Die Kondition eines linearen beschränkten Operators.- 6.7 Eine Fehlerabschätzung für ein Iterationsverfahren.- 6.8 Der Satz von Riesz und der Auswahlsatz.- 6.9 Ein Satz von Banach über Folgen von Operatoren.- 6.10 Anwendung auf Quadraturformeln.- § 7. Operatoren in Hilberträumen.- 7.1 Der adjungierte Operator.- 7.2 Beispiele.- 7.3 Differentialoperatoren bei Funktionen einer Veränderlichen.- 7.4 Differentialoperatoren bei Funktionen mehrerer Veränderlichen.- 7.5 Vollstetige Operatoren.- 7.6 Vollstetige Integraloperatoren.- 7.7 Restgliedabschätzungen für holomorphe Funktionen.- 7.8 Ableitungsfreie Abschätzungen für Quadraturfehler.- 7.9 Ein Grundprinzip der Variationsrechnung.- § 8. Eigenwertaufgaben.- 8.1 Allgemeine Eigenwertaufgaben.- 8.2 Spektrum eines Operators in einem metrischen Raum.- 8.3 EinschlieBungssatz für Eigenwerte.- 8.4 Projektionen.- 8.5 Extremaleigenschaften der Eigenwerte.- 8.6 Zwei Minimalprinzipien bei Differentialgleichungen.- 8.7 Rirzsches Verfahren.- § 9. Vektornormen und Matrixnormen.- 9.1 Vektornormen.- 9.2 Vergleich verschiedener Vektornormen.- 9.3 Matrixnormen.- 9.4 Aus der Matrizenlehre.- 9.5 Evxtrnische Vektornorm und passende Matrixnormen.- 9.6 Andere Vektornormen und zugeordnete Matrixnormen.- 9.7 Transformierte Normen.- 10. Weitere Sätze über Vektor- und Matrixnormen.- 10.1 Duale Vektornormen.- 10.2 Bestimmung einiger dualer Normen.- 10.3 Matrixpotenzen.- 10.4 Eine Minimaleigenschaft der Spektralnorm.- 10.5 Abweichung einer Matrix von der Normalität.- 10.6 Spektralvariation zweier Matrizen.- 10.7 Vermischte Aufgaben zu Kapitel I.- 10.8 Hinweise zu den Lösungen bei einigen Aufgaben von 10.7.- II Iterative Verfahren.- § 11. Der Fixpunktsatz für das allgemeine Iterationsverfahren in pseudometrischen Räumen.- 11.1 Iterationsverfahren und einfache Beispiele.- 11.2 Iterationsverfahren bei Differentialgleichungen.- 11.3 Der allgemeine Fixpunktsatz.- 11.4 Beweis des allgemeinen Fixpunktsatzes.- 11.5 Der Eindeutigkeitssatz.- § 12. Spezialfälle des Fixpunktsatzes und Abänderung des Operators.- 12.1 Spezialfall eines linearen Hilfsoperators P.- 12.2 Spezialfall eines metrischen Raumes mit P als Zahlenfaktor.- 12.3 Spezialfall eines metrischen Raumes mit P als nichtlinearer, reellwertiger Funktion.- 12.4 Durchführung von Iterationen mit einem abgeänderten Operator und Genauigkeitsfragen.- 12.5 Fehlerabschätzung bei abgeänderter Iteration.- § 13. Iteration
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