Beschreibung
Numerische Mathematik ist ein zentrales Gebiet der Mathematik, das für vielfältige Anwendungen die Grundlage bildet und das alle Studierenden der Mathematik, Ingenieurwissenschaften, Informatik und Physik kennenlernen. Das vorliegende Lehrbuch ist eine didaktisch exzellente, besonders sorgfältig ausgearbeitete Einführung für Anfänger. Eines der Ziele dieses Buches ist es, die mathematischen Grundlagen der numerischen Methoden zu liefern, ihre grundlegenden theoretischen Eigenschaften (Stabilität, Genauigkeit, Komplexität)zu analysieren, und ihre Leistungsfähigkeit an Beispielen und Gegenbeispielen mittels MATLAB zu demonstrieren. Die besondere Sorgfalt, die den Anwendungen und betreffenden Softwareentwicklungen gewidmet wurde, macht das vorliegende Werk auch für Studenten mit abgeschlossenem Studium, Wissenschaftler und Anwender des wissenschaftlichen Rechnens in vielen Berufsfeldern zu einem unverzichtbaren Arbeitsmittel.
Autorenporträt
InhaltsangabeI: Ausgangspunkte.- 1 Grundlagen der linearen Algebra.- 1.1 Vektorräume.- 1.2 Matrizen.- 1.3 Operationen mit Matrizen.- 1.3.1 Inverse einer Matrix.- 1.3.2 Matrizen und lineare Abbildungen.- 1.3.3 Operationen mit Blockmatrizen.- 1.4 Spur und Determinante einer Matrix.- 1.5 Rang und Kern einer Matrix.- 1.6 Spezielle Matrizen.- 1.6.1 Blockdiagonale Matrizen.- 1.6.2 Trapez- und Dreiecksmatrizen.- 1.6.3 Bandmatrizen.- 1.7 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 1.8 Ähniichkeitstransformationen.- 1.9 Die SingulärwertZerlegung (SVD).- 1.10 Skalarprodukte und Normen in Vektorräumen.- 1.11 Matrixnormen.- 1.11.1 Beziehung zwischen Matrixnormen und dem Spek- tralradius einer Matrix.- 1.11.2 Folgen und Reihen von Matrizen.- 1.12 Positiv dehnite, diagonaldominante und M-Matrizen.- 1.13 Übungen.- 2 Grundlagen der Numerischen Mathematik.- 2.1 Korrektheit und Konditionszahl eines Problems.- 2.2 Stabilität numerischer Methoden.- 2.2.1 Beziehungen zwischen Stabilität und Konvergenz.- 2.3 A priori und a posteriori. Analysis.- 2.4 Felllerquellen in Berechnungsmodellen.- 2.5 Computerzahlen.- 2.5.1 Das Positionssystem.- 2.5.2 Das Gleitkommazahlensystem.- 2.5.3 Verteilung von Gleitpunktzahlen.- 2.5.4 lEC/IEEE Arithmetik.- 2.5.5 Runden einer reellen Zahl In Maschinendarstellung.- 2.5.6 Maschinengleitpunktoperationen.- 2.6 Übungen.- II: Numerische lineare Algebra.- 3 Direkte Methoden zur Lösung linearer Systeme.- 3.1 Stabilitätsanalyse linearer Systeme.- 3.1.1 Die Konditionszahl einer Matrix.- 3.1.2 A prior Vorwärtsanalyse.- 3.1.3 A priori Riickwärtsanalyse.- 3.1.4 A posteriori Analyse.- 3.2 Lösung von Drcicckssystemen.- 3.2.1 Implementation der Substitutionsmethoden.- 3.2.2 Rundungsfehleranalyse.- 3.2.3Inverse einer Dreiecksmatrix.- 3.3 Gauß-Ehniination (GEM) und LU-Faktorisierung.- 3.3.1 GEM als Faktorisierungsmethode.- 3.3.2 Die Auswirkung von Rundungsfehlem.- 3.3.3 Implementation dor LU-Faktorisierung.- 3.3.4 Kompakte Formen der Faktorisierung.- 3.4 Andere Arten der Zerlegung.- 3.4.1 LDMT-Faktorisierung.- 3.4.2 Symmetrische und positiv definite Matrizen: Die Cholesky-Faktorisierung.- 3.4.3 Rechteckmatrizen: Die QR-Faktorisierung.- 3.5 Pivotisierung.- 3.6 Berechnung der Invcrsen einer Matrix.- 3.7 Bandsysteme.- 3.7.1 TVidiagonale Matrizen.- 3.7.2 Aspekte der Impteiiieiitierung.- 3.8 Blocksysteine.- 3.8.1 Block-LU-Faktorisierung.- 3.8.2 Inverse einer blockpartitionierten Matrix.- 3.8.3 Blocktridiagonale Systeme.- 3.9 Schwachbesetzte Matrizen.- 3.9.1 Cuthill-McKee-Algorithmus.- 3.9.2 Zerlegung in Substrukturen.- 3.9.3 Geschachtelte Zerlegung.- 3.10 Die durch die GEM erzielte Genauigkeit der Lösung.- 3.11 Approximative Berechnung von K(A).- 3.12 Verbesserung der Genauigkeit der GEM.- 3.12.1 Skalierung.- 3.12.2 Iterative Verbesserung.- 3.13 Unbestimmte Systeme.- 3.14 Anwendungen.- 3.14.1 Knotenanalyse eines Fachwerkes.- 3.14.2 Regularisierung eines Dreiecksgitters.- 3.15 Übungen.- 4 Iterative Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme.- 4.1 Über die Konvergenz iterativer Methoden.- 4.2 Lineare iterative Methoden.- 4.2.1 Jacobi-, Gauß-Seidel- und Relaxationsmethoden.- 4.2.2 Konvergenzresultate für Jacobi- und Gauß-Seidel-Ver- fahren.- 4.2.3 Konvergenzresultate für die Relaxationsmethode.- 4.2.4 A priori Vorwärtsanalyse.- 4.2.5 Blockmatrizen.- 4.2.6 Symmetrische Form des Gauß-Seidel- und des SOR- Verfahrens.- 4.2.7 Implementierungsfragen.- 4.3 Stationäre und instationäre iterative Verfahren.- 4.3.1 Konvergcnzanalysis des Richardson-Verfahrens.- 4.3.2 Vorkonditionierer.- 4.3.3 DasGradientenverfahren.- 4.3.4 Das Verfahren der konjugierten Gradienten.- 4.3.5 Das vorkonditionierte Verfahren der konjugierten Gra- dienten.- 4.3.6 Das Verfahren der alternierenden Richtungen.- 4.4 Methoden, die auf Krylov-Teilraumiterationen basieren.- 4.4.1 Das Arnoldi-Verfahren für lineare Systeme.- 4.4.2 Das GMRES-Verfahren.- 4.4.3 Das Lanczos-Verfahren für symmetrische Systeme.- 4.5 Das Lanczos-Verfahren für unsymmetrische Systeme.- 4.6 Abbruchkriterien.- 4.6.1 Ein auf den Zuwach
