Beschreibung
Jede komplexe Mannigfaltigkeit ist auf natürliche Weise eine differenzierbare !>1annigfaltigkeit. Sei umgekehrt M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Es erhebt sich die Frage, ob auf M eine komplexe Struktur existiert. Falls dies der Fall ist, besteht dasnächste Problern darin, eine Übersicht über "alle" komplexen Strukturen auf M zu gewinnen. Sei L(M):=Menge der Äquivalenzklassen von komplexen Strukturen auf M ~ Menge der zu M diffeornorphen, komplexen Mannigfalt- keiten/biholornorphe Äquivalenz. Das Modulproblern, das seinen Ursprung in der Arbeit [67] von B. Riernann hat, besteht darin, auf L(M) eine "natürliche" komplexe Struktur einzuführen. Beispiel 1. Im Falle, daß M = ~ ist, besteht L(M) aus zwei 1 Punkten, falls M = F ist, besteht L(M) nur aus einem Punkt (Riernannscher Abbildungssatz). Beispiel 2. Sei w E ~ mit Im w > 0 und Gw:= {rnw+nlrn,nE~ }. Dann ist Tw:= ~/Gw ein Torus. Zwei Tori Tw' und T sind w genau dann biholornorph zueinander, wenn ganze Zahlen a,b,c,d mit ad - bc = 1 existieren, so daß + b w' = aw cw + d ist. Jeder Torus hat also einen Repräsentanten T mit w wEr:= {aE~ i Im Ct > 0, /Real:5. 2' Iai.:. 1}. VIII Identifiziert man entsprechende Punkte in r, so kann man zeiaen. daß für jeden Torus T gilt r(T) ""a: - Man vergleiche dazu [39], Example 2.14. Beispiel 3. Satz (Riemann, Teichmüller, Rauch, Ahlfors, Bers).
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