Beschreibung
In diesem Buche sind Ergebnisse aus meiner langjährigen Tätigkeit als Lehrer für Mathematik niedergelegt. Es war mir stets ein besonderes Anliegen grund sätzlich im Unterricht alle Leitmotive und Fragestellungen zu entwickeln und klar herauszustellen, die zur Auffindung der Lösungen mathematischer Probleme führen. Daß eine solche Unterrichtsweise in hervorragendem Maße der Er ziehung zu selbständigem, schöpferischem Denken förderlich ist, liegt auf der Hand. Der mathematische Unterricht erhebt sich dadurch über das rein Fach liche hinaus zu einer Schulung in der Methodik des Denkens. Im Interesse der Lebendigkeit und konkreten Faßlichkeit der Darbietung des Stoffes werden jeweils zunächst Musterlösungen für eine Reihe von Beispielen vorangestellt, aus denen dann erst die oft nur recht allgemein formulierbaren Erkenntnisse in Gestalt von Lösungsprinzipien hergeleitet werden. Die Erläu terung derselben ist so von vornherein gegeben. Ein Anspruch auf Vollständig keit der Prinzipien wird nicht erhoben. Die Beispiele sind dem Lehrstoff der höheren Schulen entnommen oder befassen sich mit Fragen, die sich dem Mathe matiklehrer im Zusammenhang mit seinem Unterricht aufzudrängen pflegen. Ein breiter Raum ist der Geometrie zugedacht worden, weil gerade hier die Phantasie gezwungen ist, die mannigfaltigsten Wege zur Auffindung von Lösungen einzuschlagen.
Autorenporträt
InhaltsangabeEinführung.- I. Verstehen der Aufgabe.- "Mache Dir eine sorgfältige, übersichtliche Figur!".- "Stelle klar und zergliedert alles Wesentliche heraus!".- "Prüfe sorgfältig jedes wesentliche Wort auf seinen begrifflichen Inhalt!".- "Prüfe, ob die Aufgabe einen Sinn hat und eindeutig formuliert ist!".- II. Entwerfen des Lösungsplans.- Allgemeines.- Das funktionale Denken.- Die Rolle der Phantasie, die Bedeutung der Analogie.- Die Auswertung einer Analogie.- Der Sinn einer Lösung.- Allgemeine Richtlinien für einen Lösungsplan.- § 1: Erstellung und statische Erkundung einer Figur.- 1. Beispiel. Flächenverhältnis zweier Dreiecke - 2 Lösungen.- 2. Beispiel. Satz des Menelaos - 2 Lösungen.- 3. Beispiel. Satz des Ceva - 2 Lösungen.- 4. Beispiel. Peripheriewinkel im Kreis.- 5. Beispiel. Satz des Pappus.- 6. Beispiel. Gleiche Abschnitte auf einer Kreissehne erzeugt durch die Schenkel eines Peripheriewinkels - 4 Lösungen.- 7. Beispiel. Schwerpunktskonfiguration eines Tripels gleichseitiger Dreiecke über den Seiten eines beliebigen Dreiecks - 2 Lösungen und Erweiterung.- 8. Beispiel. Satz des Ptolemäus und Erweiterung des Satzes von Simson - 2 Lösungen.- 9. Beispiel. Einbeschreibung eines gegebenen Dreiecks in ein anderes gegebenes.- 10. Beispiel. Trigonometrische Vermessungsaufgabe. Die elegante Lösung - 3 Lösungen.- 11. Beispiel. Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks durch Auswertung einer formalen Analogie.- 12. Beispiel. Eine Konfiguration nach Beispiel 7 soll drei vorgegebene Punkte als freie Ecken haben. Die scharfsinnige Lösung.- Zusammenfassung von § 1.- Beweggründe zum Ziehen von Hilfslinien.- § 2: Die dynamische Erkundung einer Figur.- Allgemeines dazu.- 13. Beispiel. Reflexion eines Lichtstrahls aus gegebenem Punkt in einen andern an einer gegebenen Geraden - 3 Lösungen. Sinn einer Spiegelung eines Punktes an einer Geraden.- 14. Beispiel. Dreieck kleinsten Umfangs einem gegebenen Dreieck einbeschrieben (Fejer).- 15. Beispiel. Neue Lösung von Beispiel 6. Zwei Beweise hierzu.- 16. Beispiel. Problem des Apollonius. Erste Lösung.- 17. Beispiel. a) Problem des Apollonius. Zweite Lösung.- 17. Beispiel. b) Spitzbogenfensteraufgabe. Drei Lösungen.- 18. Beispiel. Die Drehstreckung.- Transversalenteilungsaufgabe eines Dreiecks - 2 Lösungen.- Transversale vorgegebenen Teilverhältnisses durch vier gegebene Gerade.- Neue Lösung zu Beispiel 9.- Zweite Art von Drehstreckung.- 19. Beispiel. Die Seiten eines Dreiecks, das einem gegebenen Dreieck einzubeschreiben ist, sollen zu drei gegebenen Geraden parallel sein.- 20. Beispiel. Kreissehne mit gegebenem Teilverhältnis durch gegebenen Punkt - 6 Lösungen.- 21. Beispiel. Verwandlung eines Vierecks.- 22. Beispiel. Ein Dreieck mit einer gegebenen Seite und gegebenen Richtungen der beiden anderen Seiten einem gegebenen Dreieck einzubeschreiben - 2 Lösungen.- 23. Beispiel. Dritte Lösung zu Beispiel 7 und Erweiterung desselben durch stetige Überführung.- 24. Beispiel. Das Kriterium für Gemeinsamkeit des Schwerpunkts zweier Dreiecke - 2 Lösungen.- 25. Beispiel. Schiffskursaufgabe nach Polya-----:.- Zusammenfassung zu § 2.- Einzelfall, Spezialfall, Grenzfall, Erweiterungsfall.- Spezialfälle vom Rang einer vollkommenen Analogie.- Sonstige Abänderungsmöglichkeiten einer Figur.- Die speziellen Bedingungen eines Problems als Ausgangspunkt jeder Problemlösung.- 26. Beispiel. Gemeinsame Tangenten an gegebene Parabel und gegebenen Kreis um deren Brennpunkt. Erweiterung der Aufgabe.- §3: "Ändere das Problem ab!".- 27. Beispiel. Lösung zweier Gleichungen zweiten Grades mit zwei Unbekannten.- 28. Beispiel. Diophantische Gleichung.- 29. Beispiel. Lösung der Gleichung vierten Grades.- 30. Beispiel. Konstruktion eines Dreiecks aus seinen drei Höhen -.- 2 Lösungen.- 31. Beispiel. Konstruktion eines Schnenvierecks aus seinen vier Seiten.- 32. Beispiel. Ein Kreis soll auf zwei Seiten eines Dreiecks Sehnen gleicher gegebener Größe auf der dritten eine andere Sehne gegebener Länge ausschneiden.- 33. Beispiel. I. Drei v
